关于魔方的奇妙思考

魔方一直重复一个动作拧就会回到初始状态？

首先解释清楚这个问题：

• 我们将以魔方每一个「小块」为原点建立的坐标系中，其他「小块」与其的相对位置所包含的信息的总和成为一个魔方的 「状态」
• 我们将「改变魔方的「状态」并且除了还原为改变之前的「状态」以外还有其他的方式改变魔方的「状态」」这个动作称为魔方的 「一步」
• 我们将魔方进行若干个「一步」成为魔方的一个扭动 「方式」

那么，其实标题说的是：「魔方重复一个「方式」扭动就会回到扭动之前的「状态」？」

实际上，确实是这样的，下面我来证明一下：

我们假设一个魔方的初始「状态」为 $T_0$，在此之后通过同一种方式扭动得到的「状态」分别为 $T_1,\ T_2,\ ...$
我们可以知道，由于魔方有有限个「状态」，所以必然存在 $T_n = T_m$ 且 $0 < m < n$

显然，「方式」是可逆的，因而 $T_{n-1} = T_{m-1}$，则 $T_{n-1-1} = T_{m-1-1}$ 即 $T_{n-2} = T_{m-2}$，以此类推可得 $T_{n-i} = T_{m-i}\ (0 \le i \le m)$，那么当 $i=m$，则 $T_{n-m}=T_{m-m}$ 即 $T_0 = T_{n-m}$
由于 $0 < m < n$，因而 $0 < n-m < n$，也就是说，$T_{n-m}$ 是必然存在的

证毕