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数学短文丨已知三角形三边求面积

2022-10-03 · 11 min read
Article Technology Maths

已知三角形三边求面积

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前言

难得有点时间来写文章，正好今天（2022/9/30）算了这个公式，就把它记录下来
另外，作者没有试图让它看起来更“漂亮”，而是将其化为最简二次根式
可能最后的结果不是很美好，但我认为思考的过程才是最重要的

本文创作时间：2022/9/30 ~ 2022/10/3

条件 & 所求

在 ΔABC\Delta ABC 中，BC=aBC = a，AC=bAC = b，AB=cAB = c，求SΔABCS_{\Delta ABC}.

推导

简化问题

首先，我们需要稍稍简化一下这个问题：

  • 显然，交换任意两边的长度都是不影响最终结果的，所以我们不妨设 a≥b≥ca \ge b \ge c
  • 那么 BCBC 边上的高 (假设它为 ADAD)，就一定在 ΔABC\Delta ABC 的内部

如图：

图一
图一

(AD⊥BC( AD \perp BC 于 D)D)

这显然容易证明，在此不过多赘述
那么我们就只需要求出 ADAD，就可以很容易地求出 SΔABCS_{\Delta ABC}

Tips

  • 请做好心理准备，接下来的内容可能有亿点复杂，同时含有很多技巧性的东西
  • 同时，我的语言表达能力不是太好，阅读体验不会很好
  • 另外，作者仅为一名初二学生，可能想出的方法过于繁琐，如有更好的方法，欢迎提出

切入问题

显然，这里我们可以通过方程求解（同时这也是一个比较好的方法）
同时，通过勾股定理来建立表示线段的长度也是一个很好的方法
但未知数的设置也需要进行考虑

  • 第一种方法：直接设 x=ADx = AD
    那么就可以得到

c2−x2+b2−x2=a\sqrt {c^2 - x^2} + \sqrt {b^2 - x^2} = a

但是显然，这种平方根的加减计算对于我们来说非常不友好，作者也没有尝试这种方法

  • 那么我们就需要另辟蹊径
    观察上图，我们可以发现，除了 ADAD 是未知的，还有 BDBD 和 CDCD，我们可以从这里入手，即
    设 x=BDx = BD，则 CD=a−xCD = a - x
    可得

c2−x2=b2−(a−x)2\sqrt {c^2 - x^2} = \sqrt {b^2 - (a - x)^2}

这里是根据 ADAD 建立等量关系
那么我们将等式两边同时平方，可得

c2−x2=b2−(a−x)2c^2 - x^2 = b^2 - (a - x)^2

这样就避免了麻烦的平方根
那么接下来，解方程可得

x=a2−b2+c22ax = \frac {a^2 - b^2 + c^2}{2a}

接下来，令 h=ADh = AD，则

h2=c2−x2=c2−(a2−b2+c22a)2h^2 = c^2 - x^2 = c^2 - {( \frac {a^2 - b^2 + c^2}{2a})}^2

这个东西看起来不太好算，但是我们不要慌，首先，先用平方差公式把它拆开来，即

h2=(c+a2−b2+c22a)(c−a2−b2+c22a)h^2 = (c + \frac {a^2 - b^2 + c^2}{2a})(c - \frac {a^2 - b^2 + c^2}{2a})

来看这个 cc，如果要通分，应该是 2ac2a\Large \frac {2ac}{2a}，分子看起来颇熟悉，不是吗？
没错，我们可以使用完全平方公式，即

         h2=(2ac2a+a2−b2+c22a)(2ac2a−a2−b2+c22a)=−(a2+2ac+c2−b22a)(a2−2ac+c2−b22a)=−[(a+c)2−b22a][(a−c)2−b22a]\begin{aligned} &\ \; \; \; \; h^2 \\ &= (\frac {2ac}{2a} + \frac {a^2 - b^2 + c^2}{2a})(\frac {2ac}{2a} - \frac {a^2 - b^2 + c^2}{2a}) \\ &= -(\frac {a^2 + 2ac + c^2 - b ^ 2}{2a})(\frac {a^2 - 2ac + c^2 - b ^ 2}{2a}) \\ &= -[\frac {(a + c)^2 - b ^ 2}{2a}][\frac {(a - c)^2 - b ^ 2}{2a}] \end{aligned}

然后，我们可以再用一次平方差公式，即

         h2=−[(a+b+c)(a−b+c)2a][(a+b−c)(a−b−c)2a]=−(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(a−b−c)4a2\begin{aligned}&\ \; \; \; \; h^2 \\ &= -[\frac {(a + b + c)(a - b + c)}{2a}][\frac {(a + b - c)(a - b - c)}{2a}] \\ &= -\frac {(a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)(a - b - c)}{4a^2} \end{aligned}

到这里看起来似乎没有办法继续计算了，但我们可以观察一下分子，可以发现:

  • aa 都是正的
  • b,cb,c 有正有负，且四种(2×22 \times 2)情况都有

那么，不难想到可以将它们进行分组，即

h2=−[a+(b+c)][a−(b−c)][a+(b−c)][a−(b+c)]4a2h^2 =- \frac {[a + (b + c)][a - (b - c)][a + (b - c)][a - (b + c)]}{4a^2}

相信你已经看出来了，这里又可以使用平方差公式，也就是

         h2=−[a+(b+c)][a−(b+c)][a+(b−c)][a−(b−c)]4a2=−[a2−(b+c)2][a2−(b−c)2]4a2\begin{aligned}&\ \; \; \; \; h^2 \\ &= -\frac {[a + (b + c)][a - (b + c)][a + (b - c)][a - (b - c)]}{4a^2} \\ &= -\frac {[a^2 - (b + c)^2][a^2 - (b - c)^2]}{4a^2} \end{aligned}

然后接下来就只好强行计算了，可以使用十字相乘*
*十字相乘：(n+p)(n+q)=n2+(p+q)n+pq(n + p)(n + q) = n^2 + (p + q)n + pq （只是略微简化计算）
可得

h2=−a4−a2[(b+c)2+(b−c)2]+(b+c)2(b−c)24a2h^2 = -\frac {a^4 - a^2[(b + c)^2 + (b - c)^2] + (b + c)^2(b - c)^2}{4a^2}

接下来分别计算分子的三个部分，即

         a4=a4        −a2[(b+c)2+(b−c)2]=−a2(b2+2bc+c2+b2−2bc+c2)=−a2(2b2+2c2)=−2a2b2−2a2c2         [(b+c)2(b−c)2]=[(b+c)(b−c)]2=(b2−c2)2=(b2)2−2b2c2+(c2)2=b4−2b2c2+c4\begin{aligned} &\ \; \; \; \; a^4 = a^4 \\ &\, \, \; \; \; -a^2[(b + c)^2 + (b - c)^2] \\ &=-a^2(b^2 + 2bc + c^2 + b^2 -2bc + c^2) \\ &=-a^2(2b^2 + 2c^2) \\ &=-2a^2b^2 - 2a^2c^2 \\ &\ \; \; \; \; [(b + c)^2(b - c)^2] \\ &=[(b + c)(b - c)]^2 \\ &=(b^2 - c^2)^2 \\ &=(b^2)^2 - 2b^2c^2 + (c^2)^2 \\ &=b^4 - 2b^2c^2 + c^4 \end{aligned}

可得

         h2=−a4+b4+c4−2a2b2−2a2c2−2b2c24a2=−(a4+b4+c4−2a2b2−2a2c2−2b2c2)4a2=2a2b2+2a2c2+2b2c2−a4−b4−c44a2\begin{aligned} &\ \; \; \; \; h^2 \\ &= -\frac{a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2}{4a^2} \\ &= \frac{-(a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2)}{4a^2} \\ &= \frac{2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4}{4a^2} \end{aligned}

那么

h=2a2b2+2a2c2+2b2c2−a4−b4−c44a2h = \sqrt{\frac{2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4}{4a^2}}

到这里，对 hh 的计算就告一段落了，接下来就可以计算面积了，即

         SΔABC=ah2=a2a2b2+2a2c2+2b2c2−a4−b4−c44a22=a2a2b2+2a2c2+2b2c2−a4−b4−c42a2=2a2b2+2a2c2+2b2b2−a4−b4−c44\begin{aligned} &\ \; \; \; \; S_{\Delta ABC} \\ &= \frac{ah}{2} \\ &= \frac{a \sqrt{\normalsize \frac{\normalsize 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4}{\normalsize 4a^2}}}{2} \\ &= \frac{a \frac{\sqrt{\normalsize 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4}}{\normalsize 2a}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4}}{4} \end{aligned}

至此，我们的计算就完成了，大家可以把 a=5,b=4,c=3a = 5, b = 4, c = 3 的数据带进去验算一下

后记

显然，我最后推导出来的这个公式远不如海伦公式*那么优雅
但还是那句话，思考的过程才是最重要的

*海伦公式：

SΔABC=p(p−a)(p−b)(p−c)S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

其中 p=a+b+c2p = \frac{\normalsize a + b + c}{\normalsize 2}