LinMath | S 数学符号表

2024-02-23 · 55 min read

本文转载自 OI Wiki

本文规定了本站中数学符号的推荐写法，并给出了一些应用范例。

数理逻辑

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n1.1	$p \land q$	$p$ 和 $q$ 的合取	$p$ 与 $q$ .
n1.2	$p \lor q$	$p$ 和 $q$ 的析取	$p$ 或 $q$ ; 此处的 "或" 是包含的，即若 $p$ ， $q$ 中有一个为真陈述，则 $p \lor q$ 为真。
n1.3	$\lnot p$	$p$ 的否定	非 $p$ .
n1.4	$p \implies q$	$p$ 蕴含 $q$ ; 若 $p$ 为真，则 $q$ 为真	$q \impliedby p$ 和 $p \implies q$ 同义。
n1.5	$p \iff q$	$p$ 等价于 $q$	$(p \implies q) \land (q \implies p)$ 和 $p \iff q$ 同义。
n1.6	$(\forall~x \in A)~~p(x)$	对 $A$ 中所有的 $x$ , 命题 $p(x)$ 均为真	如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$ , 可以使用记号 $(\forall~x)~~p(x)$ . $\forall$ 称为全称量词。 $x \in A$ 的含义见 n2.1.
n1.7	$(\exists~x \in A)~~p(x)$	存在一个属于 $A$ 的 $x$ 使得 $p(x)$ 为真	如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$ , 可以使用记号 $(\exists~x)~~p(x)$ . $\exists$ 称为存在量词。 $x \in A$ 的含义见 n2.1. $(\exists!~x)~~p(x)$ （唯一量词）用来表示恰有一个 $x$ 使得 $p(x)$ 为真。 $\exists!$ 也可以写作 $\exists^1$ .

集合论

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n2.1	$x \in A$	$x$ 属于 $A$ ， $x$ 是集合 $A$ 中的元素	$A \ni x$ 和 $x \in A$ 同义。
n2.2	$y \notin A$	$y$ 不属于 $A$ ， $y$ 不是集合 $A$ 中的元素
n2.3	$\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$	含元素 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的集合	也可写作 $\{x_i ~\vert~ i \in I\}$ , 其中 $I$ 表示指标集。
n2.4	$\{x \in A ~\vert~ p(x)\}$	$A$ 中使命题 $p(x)$ 为真的所有元素组成的集合	例如 $\{x \in \textbf{R} ~\vert~ x \geq 5\}$ ; 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$ ，可以使用符号 $\{x ~\vert~ p(x)\}$ （如在只考虑实数集时可使用 $\{x ~\vert~ x \geq 5\}$ ） $\vert$ 也可以使用冒号替代，如 $\{x \in A : p(x)\}$ .
n2.5	$\operatorname{card} A$ ; $\vert A\vert$	$A$ 中的元素个数， $A$ 的基数
n2.6	$\varnothing$	空集	不应使用 $\emptyset$ .
n2.7	$B \subseteq A$	$B$ 包含于 $A$ 中， $B$ 是 $A$ 的子集	$B$ 的每个元素都属于 $A$ . $\subset$ 也可用于该含义，但请参阅 n2.8 的说明。 $A \supseteq B$ 和 $B \subseteq A$ 同义。
n2.8	$B \subset A$	$B$ 真包含于 $A$ 中， $B$ 是 $A$ 的真子集	$B$ 的每个元素都属于 $A$ , 且 $A$ 中至少有一个元素不属于 $B$ . 若 $\subset$ 的含义取 n2.7, 则 n2.8 对应的符号应使用 $\subsetneq$ . $A \supset B$ 与 $B \subset A$ 同义。
n2.9	$A \cup B$	$A$ 和 $B$ 的并集	$A \cup B := \{x ~\vert~ x \in A \lor x \in B\}$ ; $:=$ 的定义参见 n4.3
n2.10	$A \cap B$	$A$ 和 $B$ 的交集	$A \cap B := \{x ~\vert~ x \in A \land x \in B\}$ ; $:=$ 的定义参见 n4.3
n2.11	$\displaystyle \bigcup\limits_{i=1}^n A_i$	集合 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 的并集	$\displaystyle \bigcup\limits_{i=1}^n A_i=A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n$ ; 也可使用 $\displaystyle \bigcup\nolimits_{i=1}^n$ ， $\displaystyle \bigcup\limits_{i\in I}$ ， $\displaystyle \bigcup\nolimits_{i\in I}$ , 其中 $I$ 表示指标集
n2.12	$\displaystyle \bigcap\limits_{i=1}^n A_i$	集合 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 的交集	$\displaystyle \bigcap\limits_{i=1}^n A_i=A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n$ ; 也可使用 $\displaystyle \bigcap\nolimits_{i=1}^n$ ， $\displaystyle \bigcap\limits_{i\in I}$ ， $\displaystyle \bigcap\nolimits_{i\in I}$ , 其中 $I$ 表示指标集
n2.13	$A \setminus B$	$A$ 和 $B$ 的差集	$A \setminus B = \{x ~\vert~ x \in A \land x \notin B\}$ ; 不应使用 $A - B$ ; 当 $B$ 是 $A$ 的子集时也可使用 $\complement_A B$ , 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$ ，则 $A$ 可以省略。不引起歧义的情况下也可使用 $\overline{B}$ 表示集合 $B$ 的补集。
n2.14	$(a, b)$	有序数对 $a$ ， $b$ ; 有序偶 $a$ ， $b$	$(a, b) = (c, d)$ 当且仅当 $a = c$ 且 $b = d$ .
n2.15	$(a_1, a_2, \dots, a_n)$	有序 $n$ 元组	参见 n2.14.
n2.16	$A \times B$	集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积	$A \times B = \{(x, y) ~\vert~ x \in A \land y \in B\}$ .
n2.17	$\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{n} A_i$	集合 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 的笛卡尔积	$\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{n} A_i=\{(x_1, x_2, \dots, x_n) ~\vert~ x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, \dots, x_n \in A_n\}$ ; $A \times A \times \dots \times A$ 记为 $A^n$ , 其中 $n$ 是乘积中的因子数。
n2.18	$\mathrm{id}_A$	$A\times A$ 的对角集	$\mathrm{id}_A=\{(x, x)~\vert~x\in A\}$ ; 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$ , 则 $A$ 可以省略。

标准数集和区间

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n3.1	$\mathbf{N}$	自然数集	$\mathbf{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ ; $\mathbf{N}^* = \mathbf{N}_+ = \{1, 2, 3, \dots\}$ ; 可用如下方式添加其他限制： $\mathbf{N}_{> 5} = \{n \in \mathbf{N} ~\vert~ n > 5\}$ ; 也可使用 $\mathbb{N}$ .
n3.2	$\mathbf{Z}$	整数集	$\mathbf{Z}^* = \mathbf{Z}_+ = \{n \in \mathbf{Z} ~\vert~ n \ne 0\}$ ; 可用如下方式添加其他限制： $\mathbf{Z}_{> -3} = \{n \in \mathbf{Z} ~\vert~ n > -3\}$ ; 也可使用 $\mathbb{Z}$ .
n3.3	$\mathbf{Q}$	有理数集	$\mathbf{Q}^* = \mathbf{Q}_+ = \{r \in \mathbf{Q} ~\vert~ r \ne 0\}$ ; 可用如下方式添加其他限制： $\mathbf{Q}_{< 0} = \{r \in \mathbf{Q} ~\vert~ r < 0\}$ ; 也可使用 $\mathbb{Q}$ .
n3.4	$\mathbf{R}$	实数集	$\mathbf{R}^* = \mathbf{R}_+ = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ x \ne 0\}$ ; 可用如下方式添加其他限制： $\mathbf{R}_{> 0} = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ x > 0\}$ ; 也可使用 $\mathbb{R}$ .
n3.5	$\mathbf{C}$	复数集	$\mathbf{C}^* = \mathbf{C}_+ = \{z \in \mathbf{C} ~\vert~ z \ne 0\}$ ; 也可使用 $\mathbb{C}$ .
n3.6	$\mathbf{P}$	（正）素数集	$\mathbf{P} = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots\}$ ; 也可使用 $\mathbb{P}$ .
n3.7	$[a, b]$	$a$ 到 $b$ 的闭区间	$[a, b] = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a \leq x \leq b\}$ .
n3.8	$(a, b]$	$a$ 到 $b$ 的左开右闭区间	$(a, b] = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a < x \leq b\}$ ; $(-\infty, b] = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ x \leq b\}$ .
n3.9	$[a, b)$	$a$ 到 $b$ 的左闭右开区间	$[a, b) = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a \leq x < b\}$ ; $[a, +\infty) = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a \leq x\}$ .
n3.10	$(a, b)$	$a$ 到 $b$ 的开区间	$(a, b) = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a < x < b\}$ ; $(-\infty, b) = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ x < b\}$ ; $(a, +\infty) = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a < x\}$ .

关系

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n4.1	$a = b$	$a$ 等于 $b$	$\equiv$ 用于强调某等式是恒等式该符号的另一个含义参见 n4.18.
n4.2	$a \ne b$	$a$ 不等于 $b$
n4.3	$a := b$	$a$ 定义为 $b$	参见 n2.9, n2.10
n4.4	$a \approx b$	$a$ 约等于 $b$	不排除相等。
n4.5	$a \simeq b$	$a$ 渐进等于 $b$	例如：当 $x\to a$ 时， $\dfrac{1}{\sin(x-a)} \simeq \dfrac{1}{x-a}$ ; $x \to a$ 的含义参见 n4.15.
n4.6	$a \propto b$	$a$ 与 $b$ 成正比	也可使用 $a \sim b$ . $\sim$ 也用于表示等价关系。
n4.7	$M \cong N$	$M$ 与 $N$ 全等	当 $M$ 和 $N$ 是点集（几何图形）时。该符号也用于表示代数结构的同构。
n4.8	$a < b$	$a$ 小于 $b$
n4.9	$b > a$	$b$ 大于 $a$
n4.10	$a \leq b$	$a$ 小于等于 $b$
n4.11	$b \geq a$	$b$ 大于等于 $a$
n4.12	$a \ll b$	$a$ 远小于 $b$
n4.13	$b \gg a$	$b$ 远大于 $a$
n4.14	$\infty$	无穷大	该符号不是数字。也可以使用 $+\infty$ ， $-\infty$ .
n4.15	$x \to a$	$x$ 趋近于 $a$	一般出现在极限表达式中。 $a$ 也可以为 $\infty$ ， $+\infty$ ， $-\infty$ .
n4.16	$m \mid n$	$m$ 整除 $n$	对整数 $m$ ， $n$ : $(\exists~k \in \mathbf{Z})~~m\cdot k = n$ .
n4.17	$m \perp n$	$m$ 与 $n$ 互质	对整数 $m$ ， $n$ : $(\nexists~k \in \mathbf{Z}_{>1})~~(k \mid m) \land (k \mid n)$ ; 该符号的另一种用法参见 n5.2
n4.18	$n \equiv k \pmod m$	$n$ 模 $m$ 与 $k$ 同余	对整数 $n$ ， $k$ ， $m$ : $m \mid (n - k)$ ; 不要与 n4.1 中提到的相混淆。

初等几何学

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n5.1	$\parallel$	平行
n5.2	$\perp$	垂直	该符号的另一种用法参见 n4.17
n5.3	$\angle$	（平面）角
n5.4	$\overline{\mathrm{AB}}$	线段 $\mathrm{AB}$
n5.5	$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$	有向线段 $\mathrm{AB}$
n5.6	$d(\mathrm{A}, \mathrm{B})$	点 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 之间的距离	即 $\overline{\mathrm{AB}}$ 的长度。

运算符

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n6.1	$a + b$	$a$ 加 $b$
n6.2	$a - b$	$a$ 减 $b$
n6.3	$a \pm b$	$a$ 加或减 $b$
n6.4	$a \mp b$	$a$ 减或加 $b$	$-(a \pm b) = -a \mp b$ .
n6.5	$a \cdot b$ ; $a \times b$ ; $ab$	$a$ 乘 $b$	若出现小数点，则应只使用 $\times$ ; 部分用例参见 n2.16, n2.17, n14.11, n14.12
n6.6	$\dfrac{a}{b}$ ; $a/b$ ; $a:b$	$a$ 除以 $b$	$\dfrac{a}{b}=a\cdot b^{-1}$ ; 可用 $:$ 表示同一量纲的数值的比率。不应使用 $÷$ .
n6.7	$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n a_i$	$a_1 + a_2 + \dots + a_n$	也可使用 $\displaystyle \sum\nolimits_{i=1}^n a_i$ ， $\displaystyle \sum\limits_i a_i$ ， $\displaystyle \sum\nolimits_i a_i$ ， $\displaystyle \sum a_i$ .
n6.8	$\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n a_i$	$a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n$	也可使用 $\displaystyle \prod\nolimits_{i=1}^n a_i$ ， $\displaystyle \prod\limits_i a_i$ ， $\displaystyle \prod\nolimits_i a_i$ ， $\displaystyle \prod a_i$ .
n6.9	$a^p$	$a$ 的 $p$ 次幂
n6.10	$a^{1/2}$ ; $\sqrt{a}$	$a$ 的 $1/2$ 次方， $a$ 的平方根	应避免使用 $\sqrt{}a$ .
n6.11	$a^{1/n}$ ; $\sqrt[n]{a}$	$a$ 的 $1/n$ 次幂， $a$ 的 $n$ 次根	应避免使用 $\sqrt[n]{}a$ .
n6.12	$\bar{x}$ ; $\bar{x}_a$	$x$ 的算数均值	其他均值有：调和均值 $\bar{x}_h$ ; 几何均值 $\bar{x}_g$ ; 二次均值/均方根 $\bar{x}_q$ 或 $\bar{x}_{rms}$ . $\bar{x}$ 也用于表示复数 $x$ 的共轭，参见 n11.6.
n6.13	$\operatorname{sgn} a$	$a$ 的符号函数	对实数 $a$ : $\operatorname{sgn} a=1\quad (a>0)$ ; $\operatorname{sgn} a=-1\quad (a<0)$ ; $\operatorname{sgn} 0=0$ ; 参见 n11.7.
n6.14	$\inf M$	$M$ 的下确界	小于等于非空集合 $M$ 中元素的最大上界。
n6.15	$\sup M$	$M$ 的上确界	大于等于非空集合 $M$ 中元素的最小下界。
n6.16	$\lvert a\rvert$	$a$ 的绝对值	也可使用 $\operatorname{abs} a$ .
n6.17	$\lfloor a\rfloor$	向下取整小于等于实数 $a$ 的最大整数	例如： $\lfloor 2.4\rfloor = 2$ ; $\lfloor -2.4\rfloor = -3$ .
n6.18	$\lceil a\rceil$	向上取整大于等于实数 $a$ 的最小整数	例如： $\lceil 2.4\rceil = 3$ ; $\lceil -2.4\rceil = -2$ .
n6.19	$\min(a, b)$ ; $\min\{a, b\}$	$a$ 和 $b$ 的最小值	可推广到有限集中。要表示无限集中的最小值建议使用 $\inf$ , 参见 n6.14
n6.20	$\max(a, b)$ ; $\max\{a, b\}$	$a$ 和 $b$ 的最大值	可推广到有限集中。要表示无限集中的最大值建议使用 $\sup$ , 参见 n6.15
n6.21	$n \bmod m$	$n$ 模 $m$ 的余数	对正整数 $n$ ， $m$ : $(\exists~q\in\mathbf{N}, r\in[0, m))~~n=qm+r$ ; 其中 $r=n \bmod m$ .
n6.22	$\gcd(a, b)$ ; $\gcd\{a, b\}$	整数 $a$ 和 $b$ 的最大公因数	可推广到有限集中。不引起歧义的情况下可写为 $(a, b)$ .
n6.23	$\operatorname{lcm}(a, b)$ ; $\operatorname{lcm}\{a, b\}$	整数 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数	可推广到有限集中。不引起歧义的情况下可写为 $[a, b]$ ; $(a, b)[a, b]=\lvert ab\rvert$ .

组合数学

本节中的 $n$ 和 $k$ 是自然数， $a$ 是复数，且 $k\leq n$ .

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n7.1	$n!$	阶乘	$n!=\prod_{k=1}^n k=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n\quad (n>0)$ ; $0!=1$ .
n7.2	$a^{\underline{k}}$	下降阶乘幂	$a^{\underline{k}}=a\cdot(a-1)\cdot \dots \cdot(a-k+1)\quad (k>0)$ ; $a^{\underline{0}}=1$ ; $n^{\underline{k}}=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ .
n7.3	$a^{\overline{k}}$	上升阶乘幂	$a^{\overline{k}}=a\cdot(a+1)\cdot \dots \cdot(a+k-1)\quad (k>0)$ ; $a^{\overline{0}}=1$ ; $n^{\overline{k}}=\dfrac{(n+k-1)!}{(n-1)!}$ .
n7.4	$\dbinom{n}{k}$	组合数	$\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ .
n7.5	$\displaystyle{n\brack k}$	第一类 Stirling 数	$\displaystyle{n+1\brack k}=n{n\brack k}+{n\brack k-1}$ ; $\displaystyle x^{\overline{n}}=\sum_{k=0}^n{n\brack k}x^k$ .
n7.6	$\displaystyle{n\brace k}$	第二类 Stirling 数	$\displaystyle{n\brace k}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^i\binom{k}{i}(k-i)^n$ ; $\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\brace k}x^{\underline{k}}=x^n$ .

函数

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n8.1	$f$	函数
n8.2	$f(x)$ ， $f(x_1, \dots, x_n)$	函数 $f$ 在 $x$ 处的值函数 $f$ 在 $(x_1, \dots, x_n)$ 处的值
n8.3	$\operatorname{dom} f$	$f$ 的定义域	也可使用 $\mathrm{D}(f)$ .
n8.4	$\operatorname{ran} f$	$f$ 的值域	也可使用 $\mathrm{R}(f)$ .
n8.5	$f:A\to B$	$f$ 是 $A$ 到 $B$ 的映射	$\operatorname{dom} f=A$ 且 $(\forall~x \in\operatorname{dom} f)~~ f(x) \in B$ .
n8.6	$x\mapsto T(x), x\in A$	将所有 $x\in A$ 映射到 $T(x)$ 的函数	$T(x)$ 仅用于定义，用来表示某个参数为 $x\in A$ 的某个函数值。若这个函数为 $f$ , 则对所有 $x\in A$ 均有 $f(x)=T(x)$ . 因此 $T(x)$ 通常用来定义函数 $f$ . 例如： $x\mapsto 3x^2y, x\in[0, 2]$ ; 这是由 $3x^2y$ 定义的一个关于 $x$ 的二次函数。若未引入函数符号，则用 $3x^2y$ 表示该函数
n8.7	$f^{-1}$	$f$ 的反函数	函数 $f$ 的反函数 $f^{-1}$ 有定义当且仅当 $f$ 是单射。若 $f$ 是单射，则 $\operatorname{dom}\left(f^{-1}\right) = \operatorname{ran} f$ ， $\operatorname{ran}\left(f^{-1}\right) = \operatorname{dom} f$ , 且 $(\forall~x\in\operatorname{dom} f)~~f^{-1}(f(x)) = x$ . 不要与函数的倒数 $f(x)^{-1}$ 混淆。
n8.8	$g\circ f$	$f$ 和 $g$ 的复合函数	$(g\circ f)(x)=g(f(x))$ .
n8.9	$f:x\mapsto y$	$f(x)=y$ ， $f$ 将 $x$ 映射到 $y$
n8.10	$f\vert_a^b$ ; $f(\dots, u, \dots)\vert_{u=a}^{u=b}$	$f(b)-f(a)$ ; $f(\dots, b, \dots)-f(\dots, a, \dots)$	主要用于定积分的计算中。
n8.11	$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}f(x)$ ; $\lim\nolimits_{x\to a}f(x)$	当 $x$ 趋近于 $a$ 时 $f(x)$ 的极限	$\lim\nolimits_{x\to a}f(x)=b$ 可以写成 $f(x)\to b\quad (x \to a)$ . 右极限和左极限的符号分别为 $\lim\nolimits_{x\to a+}f(x)$ 和 $\lim\nolimits_{x\to a-}f(x)$ .
n8.12	$f(x) = O(g(x))$	$\lvert f(x)/g(x)\rvert$ 在上下文隐含的限制中有上界， $f(x)$ 的阶不高于 $g(x)$	当 $f/g$ 与 $g/f$ 均有界时称 $f$ 与 $g$ 是同阶的。使用符号 " $=$ " 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性。例如： $\sin x=O(x)\quad (x\to 0)$ .
n8.13	$f(x) = o(g(x))$	在上下文隐含的限制中有 $f(x)/g(x)\to 0$ ， $f(x)$ 的阶高于 $g(x)$	使用符号 " $=$ " 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性。例如： $\cos x=1+o(x)\quad (x\to 0)$ .
n8.14	$\Delta f$	$f$ 的有限增量	上下文隐含的两函数值的差分。例如： $\Delta x=x_2-x_1$ ; $\Delta f(x)=f(x_2)-f(x_1)$ .
n8.15	$\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ ; $f'$	$f$ 对 $x$ 的导（函）数	仅用于一元函数。可以显式指明自变量，如 $\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ ， $f'(x)$ .
n8.16	$\left(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right)_{x=a}$ ; $f'(a)$	$f$ 在 $a$ 处的导（函）数值	参见 n8.15
n8.17	$\dfrac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d}x^n}$ ; $f^{(n)}$	$f$ 对 $x$ 的 $n$ 阶导（函）数	仅用于一元函数。可以显式指明自变量，如 $\dfrac{\mathrm{d}^n f(x)}{\mathrm{d}x^n}$ ， $f^{(n)}(x)$ . 可用 $f''$ 和 $f'''$ 分别表示 $f^{(2)}$ 和 $f^{(3)}$ .
n8.18	$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ ; $f_x$	$f$ 对 $x$ 的偏导数	仅用于多元函数。可以显式指明自变量，如 $\dfrac{\partial f(x, y, \dots)}{\partial x}$ ， $f_x(x, y, \dots)$ . 可以扩展到高阶，如 $f_{xx}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)$ ; $f_{xy}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)$ .
n8.19	$\dfrac{\partial(f_1, \dots, f_m)}{\partial(x_1, \dots, x_n)}$	Jacobi 矩阵	参见^[1]
n8.20	$\mathrm{d}f$	$f$ 的全微分	$\mathrm{d}f(x, y, \dots)=\dfrac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\dots$ .
n8.21	$\delta f$	$f$ 的（无穷小）变分
n8.22	$\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x$	$f$ 的不定积分
n8.23	$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x$	$f$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分	也可使用 $\displaystyle \int\nolimits_a^b f(x)\mathrm{d}x$ ; 定积分还可以定义在更一般的域上。如 $\displaystyle\int\limits_C$ ， $\displaystyle\int\limits_S$ ， $\displaystyle\int\limits_V$ ， $\displaystyle\oint$ , 分别表示在曲线 $C$ , 曲面 $S$ , 三维区域 $V$ , 和闭曲线或曲面上的定积分。多重积分可写成 $\displaystyle\iint$ ， $\displaystyle\iiint$ 等。
n8.24	$f*g$	函数 $f$ 和 $g$ 的卷积	$\displaystyle (f*g)(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y)\mathrm{d}y$ .

指数和对数函数

$x$ 可以是复数。

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n9.1	$\mathrm{e}$	自然对数的底	$\displaystyle \mathrm{e}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=2.718~281~8\dots$ ; 不要写成 $e$ .
n9.2	$a^x$	$x$ 的指数函数（以 $a$ 为底）	参见 n6.9.
n9.3	$\mathrm{e}^x$ ; $\exp x$	$x$ 的指数函数（以 $\mathrm{e}$ 为底）
n9.4	$\log_a x$	$x$ 的以 $a$ 为底的对数	当底数不需要指定的时候可以使用 $\log x$ . 不应用 $\log x$ 替换 $\ln x$ ， $\lg x$ ， $\operatorname{lb} x$ 中的任意一个。
n9.5	$\ln x$	$x$ 的自然对数	$\ln x = \log_{\mathrm{e}} x$ ; 参见 n9.4.
n9.6	$\lg x$	$x$ 的常用对数	$\lg x = \log_{10} x$ ; 参见 n9.4.
n9.7	$\operatorname{lb} x$	$x$ 的以 $2$ 为底的对数	$\operatorname{lb} x = \log_2 x$ ; 参见 n9.4.

三角函数和双曲函数

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n10.1	$\pi$	圆周率	$\pi = 3.141~592~6\dots$ .
n10.2	$\sin x$	$x$ 的正弦	$\sin x=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}$ ; $(\sin x)^n$ ， $(\cos x)^n$ ( $n\geq 2$ ) 等通常写为 $\sin^n x$ ， $\cos^n x$ 等。
n10.3	$\cos x$	$x$ 的余弦	$\cos x = \sin(x + \pi/2)$ .
n10.4	$\tan x$	$x$ 的正切	$\tan x = \sin x/\cos x$ ; 不可使用 $\operatorname{tg} x$ .
n10.5	$\cot x$	$x$ 的余切	$\cot x = 1/\tan x$ ; 不可使用 $\operatorname{ctg} x$ .
n10.6	$\sec x$	$x$ 的正割	$\sec x = 1/\cos x$ .
n10.7	$\csc x$	$x$ 的余割	$\csc x = 1/\sin x$ ; 不可使用 $\operatorname{cosec} x$ .
n10.8	$\arcsin x$	$x$ 的反正弦	$y = \arcsin x \iff x = \sin y\quad (-\pi/2 \leq y \leq \pi/2)$ .
n10.9	$\arccos x$	$x$ 的反余弦	$y = \arccos x \iff x = \cos y\quad (0 \leq y \leq \pi)$ .
n10.10	$\arctan x$	$x$ 反正切	$y = \arctan x \iff x = \tan y\quad (-\pi/2 \leq y \leq \pi/2)$ ; 不可使用 $\operatorname{arctg} x$ .
n10.11	$\operatorname{arccot} x$	$x$ 反余切	$y = \operatorname{arccot} x \iff x = \cot y\quad (0 \leq y \leq \pi)$ ; 不可使用 $\operatorname{arcctg} x$ .
n10.12	$\operatorname{arcsec} x$	$x$ 反正割	$y = \operatorname{arcsec} x \iff x = \sec y\quad (0\leq y \leq \pi, y\ne \pi/2)$ .
n10.13	$\operatorname{arccsc} x$	$x$ 的反余割	$y = \operatorname{arccsc} x \iff x = \csc y\quad (-\pi/2 \leq y \leq \pi/2, y\ne 0)$ ; 不可使用 $\operatorname{arccosec} x$ .
n10.14	$\sinh x$	$x$ 的双曲正弦	$\sinh x=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ ; 不可使用 $\operatorname{sh} x$ .
n10.15	$\cosh x$	$x$ 的双曲余弦	$\cosh^2 x = \sinh^2 x + 1$ ; 不可使用 $\operatorname{ch} x$ .
n10.16	$\tanh x$	$x$ 的双曲正切	$\tanh x = \sinh x/\cosh x$ ; 不可使用 $\operatorname{th} x$ .
n10.17	$\coth x$	$x$ 的双曲余切	$\coth x = 1/\tanh x$ .
n10.18	$\operatorname{sech} x$	$x$ 的双曲正割	$\operatorname{sech} x = 1/\cosh x$ .
n10.19	$\operatorname{csch} x$	$x$ 的双曲余割	$\operatorname{csch} x = 1/\sinh x$ ; 不可使用 $\operatorname{cosech} x$ .
n10.20	$\operatorname{arsinh} x$	$x$ 的反双曲正弦	$y = \operatorname{arsinh} x \iff x = \sinh y$ ; 不可使用 $\operatorname{arsh} x$ .
n10.21	$\operatorname{arcosh} x$	$x$ 的反双曲余弦	$y = \operatorname{arcosh} x \iff x = \cosh y\quad (y \geq 0)$ ; 不可使用 $\operatorname{arch} x$ .
n10.22	$\operatorname{artanh} x$	$x$ 的反双曲正切	$y = \operatorname{artanh} x \iff x = \tanh y$ ; 不可使用 $\operatorname{arth} x$ .
n10.23	$\operatorname{arcoth} x$	$x$ 的反双曲余切	$y = \operatorname{arcoth} x \iff x = \coth y\quad (y \ne 0)$ .
n10.24	$\operatorname{arsech} x$	$x$ 的反双曲正割	$y = \operatorname{arsech} x \iff x = \operatorname{sech} y\quad (y \geq 0)$ .
n10.25	$\operatorname{arcsch} x$	$x$ 的反双曲余割	$y = \operatorname{arcsch} x \iff x = \operatorname{csch} y\quad (y \geq 0)$ ; 不可使用 $\operatorname{arcosech} x$ .

复数

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n11.1	$\mathrm{i}$	虚数单位	$\mathrm{i}^2 = -1$ ; 不可使用 $i$ 或 `i`
n11.2	$\operatorname{Re} z$	$z$ 的实部	参见 n11.3.
n11.3	$\operatorname{Im} z$	$z$ 的虚部	若 $z = x + \mathrm{i} y\quad (x, y\in\mathbf{R})$ , 则 $x = \operatorname{Re} z$ ， $y = \operatorname{Im} z$ .
n11.4	$\lvert z\rvert$	$z$ 的模	$\lvert z\rvert=\sqrt{(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2}$ .
n11.5	$\arg z$	$z$ 的辐角	若 $z = r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ , 其中 $r = \lvert z\rvert$ 且 $-\pi < \varphi \leq \pi$ , 则 $\varphi = \arg z$ . $\operatorname{Re} z = r \cos \varphi$ ， $\operatorname{Im} z = r \sin \varphi$ .
n11.6	$\bar{z}$ ; $z^*$	$z$ 的复共轭	$\bar{z}=\operatorname{Re}z-\mathrm{i}\operatorname{Im}z$ .
n11.7	$\operatorname{sgn} z$	$z$ 的单位模函数	$\operatorname{sgn} z =z / \lvert z\rvert = \exp(\mathrm{i} \arg z)\quad (z \ne 0)$ ; $\operatorname{sgn} 0 = 0$ ; 参见 n6.13.

矩阵

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n12.1	$A$ ; 参见^[2]	$m\times n$ 型矩阵 $A$	$a_{ij} = (A)_{ij}$ ; 也可使用 $A = (a_{ij})$ . 其中 $m$ 为行数， $n$ 为列数 $m=n$ 时称为方阵可用方括号替代圆括号。
n12.2	$A + B$	矩阵 $A$ 和 $B$ 的和	$(A + B)_{ij} = (A)_{ij} + (B)_{ij}$ ; 矩阵 $A$ 和 $B$ 的行数和列数必须分别相同。
n12.3	$x A$	标量 $x$ 和矩阵 $A$ 的乘积	$(x A)_{ij} = x (A)_{ij}$ .
n12.4	$AB$	矩阵 $A$ 和 $B$ 的乘积	$\displaystyle(AB)_{ik} = \sum\limits_{j}(A)_{ij}(B)_{jk}$ ; 矩阵 $A$ 的列数必须等于矩阵 $B$ 的行数。
n12.5	$I$ ; $E$	单位矩阵	$(I)_{ik} = \delta_{ik}$ ; $\delta_{ik}$ 的定义参见 n14.9.
n12.6	$A^{-1}$	方阵 $A$ 的逆	$AA^{-1} = A^{-1}A = I\quad (\det A \ne 0)$ . $\det A$ 的定义参见 n12.10.
n12.7	$A^{\mathrm{T}}$ ; $A'$	$A$ 的转置矩阵	$(A^{\mathrm{T}})_{ik} = (A)_{ki}$ .
n12.8	$\overline{A}$ ; $A^*$	$A$ 的复共轭矩阵	$\left(\overline{A}\right)_{ik}=\overline{(A)_{ik}}$ .
n12.9	$A^{\mathrm{H}}$ ; $A^{\dagger}$	$A$ 的 Hermite 共轭矩阵	$A^{\mathrm{H}} = \left(\overline{A}\right)^{\mathrm{T}}$ .
n12.10	$\det A$ ; 参见^[3]	方阵 $A$ 的行列式	也可使用 $\lvert A\rvert$ .
n12.11	$\operatorname{rank}A$	矩阵 $A$ 的秩
n12.12	$\operatorname{tr}A$	方阵 $A$ 的迹	$\displaystyle\operatorname{tr}A=\sum\limits_{i}(A)_{ii}$ .
n12.13	$\lVert A\rVert$	矩阵 $A$ 的范数	满足三角不等式：若 $A + B = C$ , 则 $\lVert A\rVert+\lVert B\rVert \geq \lVert C\rVert$ .

坐标系

本节考虑三维空间中的一些坐标系。点 $\mathrm{O}$ 为坐标系的原点。任意点 $\mathrm{P}$ 均由从原点 $\mathrm{O}$ 到点 $\mathrm{P}$ 的 位置向量 确定。

编号	坐标	位置向量和微分	坐标名	备注
n13.1	$x$ ， $y$ ， $z$	$\boldsymbol{r} = x \boldsymbol{e}_x + y \boldsymbol{e}_y + z \boldsymbol{e}_z$ ; $\mathrm{d}\boldsymbol{r} = \mathrm{d}x~\boldsymbol{e}_x + \mathrm{d}y~\boldsymbol{e}_y + \mathrm{d}z~\boldsymbol{e}_z$	笛卡尔坐标	基向量 $\boldsymbol{e}_x$ ， $\boldsymbol{e}_y$ ， $\boldsymbol{e}_z$ 构成右手正交系，见图 1 和图 4。基向量也可用 $\boldsymbol{e}_1$ ， $\boldsymbol{e}_2$ ， $\boldsymbol{e}_3$ 或 $\boldsymbol{i}$ ， $\boldsymbol{j}$ ， $\boldsymbol{k}$ 表示，坐标也可用 $x_1$ ， $x_2$ ， $x_3$ 或 $i$ ， $j$ ， $k$ 表示。
n13.2	$\rho$ ， $\varphi$ ， $z$	$\boldsymbol{r} = \rho~\boldsymbol{e}_{\rho} + z~\boldsymbol{e}_z$ ; $\mathrm{d}\boldsymbol{r} = \mathrm{d}\rho~\boldsymbol{e}_{\rho} +\rho~\mathrm{d}\varphi~\boldsymbol{e}_{\varphi} + \mathrm{d}z~\boldsymbol{e}_z$	柱坐标	$\boldsymbol{e}_{\rho}(\varphi)$ ， $\boldsymbol{e}_{\varphi}(\varphi)$ ， $\boldsymbol{e}_z$ 组成右手正交系，见图 2。若 $z = 0$ , 则 $\rho$ 和 $\varphi$ 是平面上的极坐标。
n13.3	$r$ ， $\vartheta$ ， $\varphi$	$\boldsymbol{r} = r \boldsymbol{e}_r$ ; $\mathrm{d}\boldsymbol{r} = \mathrm{d}r~\boldsymbol{e}_r + r~\mathrm{d}\vartheta~\boldsymbol{e}_{\vartheta} + r~\sin\vartheta~\mathrm{\mathrm{d}}\varphi~\boldsymbol{e}_{\varphi}$	球坐标	$\boldsymbol{e}_r(\vartheta, \varphi)$ ， $\boldsymbol{e}_{\vartheta}(\vartheta, \varphi)$ ， $\boldsymbol{e}_{\varphi}(\varphi)$ 组成右手正交系，见图 3。

如果不使用右手坐标系（见图 4），而使用左手坐标系（见图 5），则应在之前明确强调，以免符号误用。

图 1 右手笛卡尔坐标系

图 2 右手柱坐标系

图 3 右手球坐标系

图 4 右手坐标系

图 5 左手坐标系

标量和向量

本节中，基向量用 $\boldsymbol{e}_1$ ， $\boldsymbol{e}_2$ ， $\boldsymbol{e}_3$ 表示。本节中的许多概念都可以推广到 $n$ 维空间。

标量和向量本身与坐标系的选择无关，而向量的每个标量分量与坐标系的选择有关。

对于基向量 $\boldsymbol{e}_1$ ， $\boldsymbol{e}_2$ ， $\boldsymbol{e}_3$ , 每个向量 $\boldsymbol{a}$ 都可以表示为 $\boldsymbol{a}=a_1\boldsymbol{e}_1+a_2\boldsymbol{e}_2+a_3\boldsymbol{e}_3$ , 其中 $a_1$ ， $a_2$ 和 $a_3$ 是唯一确定的标量值，将其称为向量相对于该组基向量的 "坐标"， $a_1\boldsymbol{e}_1$ ， $a_2\boldsymbol{e}_2$ 和 $a_3\boldsymbol{e}_3$ 称为向量相对于该组基向量的分向量。

在本节中，只考虑普通空间的笛卡尔（正交）坐标。笛卡尔坐标用 $x$ ， $y$ ， $z$ 或 $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ 或 $x_1$ ， $x_2$ ， $x_3$ 表示。

本节所有下标 $i$ ， $j$ ， $k$ 的范围均为 $1$ 到 $3$ .

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n14.1	$\boldsymbol{a}$ ; $\vec{a}$	向量 $\boldsymbol{a}$
n14.2	$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$	向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的和	$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})_i = a_i + b_i$ .
n14.3	$x\boldsymbol{a}$	标量 $x$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 的乘积	$(x\boldsymbol{a})_i = xa_i$ .
n14.4	$\lvert \boldsymbol{a}\rvert$	向量 $\boldsymbol{a}$ 的大小，向量 $\boldsymbol{a}$ 的范数	$\lvert \boldsymbol{a}\rvert=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ ; 也可使用 $\lVert a\rVert$ .
n14.5	$\boldsymbol{0}$ ; $\vec{0}$	零向量	零向量的大小为 $0$ .
n14.6	$\boldsymbol{e_a}$	$\boldsymbol{a}$ 方向的单位向量	$\boldsymbol{e_a} = \boldsymbol{a}/\lvert\boldsymbol{a}\rvert\quad (\boldsymbol{a}\ne \boldsymbol{0})$ .
n14.7	$\boldsymbol{e}_x$ ， $\boldsymbol{e}_y$ ， $\boldsymbol{e}_z$ ; $\boldsymbol{e}_1$ ， $\boldsymbol{e}_2$ ， $\boldsymbol{e}_3$	笛卡尔坐标轴方向的单位向量	也可使用 $\boldsymbol{i}$ ， $\boldsymbol{j}$ ， $\boldsymbol{k}$ .
n14.8	$a_x$ ， $a_y$ ， $a_z$ ; $a_i$	向量 $\boldsymbol{a}$ 的笛卡尔分量	$\boldsymbol{a} = a_x \boldsymbol{e}_x + a_y \boldsymbol{e}_y + a_z \boldsymbol{e}_z$ ; 如果上下文确定了基向量，则向量可以写为 $\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)$ . $a_x = \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{e}_x$ ， $a_y = \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{e}_y$ ， $a_z = \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{e}_z$ ; $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{e}_x + y\boldsymbol{e}_y + z\boldsymbol{e}_z$ 是坐标为 $x$ ， $y$ ， $z$ 的位置向量。
n14.9	$\delta_{ik}$	Kronecker delta 符号	$\delta_{ik}=1\quad (i=k)$ ; $\delta_{ik}=0\quad (i\ne k)$ .
n14.10	$\varepsilon_{ijk}$	Levi-Civita 符号	$\varepsilon_{123} = \varepsilon_{231} = \varepsilon_{312} = 1$ ; $\varepsilon_{132} = \varepsilon_{321} = \varepsilon_{213} = -1$ ; 其余的 $\varepsilon_{ijk}$ 均为 $0$ .
n14.11	$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$	向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的标量积/内积	$\displaystyle\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sum\limits_i a_ib_i$ .
n14.12	$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$	向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的向量积/外积	右手笛卡尔坐标系中， $\displaystyle (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_i = \sum\limits_j\sum\limits_k\varepsilon_{ijk}a_jb_k$ ; $\varepsilon_{ijk}$ 的定义参见 n14.10.
n14.13	$\mathbf{\nabla}$	nabla 算子	$\displaystyle \mathbf{\nabla} = \boldsymbol{e}_x\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{e}_y\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{e}_z\frac{\partial}{\partial z}=\sum\limits_i\boldsymbol{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i}$ .
n14.14	$\mathbf{\nabla}\varphi$ ; $\operatorname{\mathbf{grad}}\varphi$	$\varphi$ 的梯度	$\displaystyle \mathbf{\nabla}\varphi=\sum\limits_i\boldsymbol{e}_i\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}$ ; $\operatorname{\mathbf{grad}}$ 应使用 `\operatorname{\mathbf{grad}}`.
n14.15	$\mathbf{\nabla}\cdot\boldsymbol{a}$ ; $\operatorname{\mathbf{div}}\boldsymbol{a}$	$\boldsymbol{a}$ 的散度	$\displaystyle \mathbf{\nabla}\cdot\boldsymbol{a}=\sum\limits_i\frac{\partial a_i}{\partial x_i}$ ; $\operatorname{\mathbf{div}}$ 应使用 `\operatorname{\mathbf{div}}`.
n14.16	$\mathbf{\nabla}\times\boldsymbol{a}$ ; $\operatorname{\mathbf{rot}}\boldsymbol{a}$	$\boldsymbol{a}$ 的旋度	$\displaystyle (\mathbf{\nabla}\times\boldsymbol{a})_i=\sum\limits_j\sum\limits_k\varepsilon_{ijk}\frac{\partial a_k}{\partial x_j}$ ; $\operatorname{\mathbf{rot}}$ 应使用 `\operatorname{\mathbf{rot}}`. 不应使用 $\operatorname{\mathbf{curl}}$ . $\varepsilon_{ijk}$ 的定义参见 n14.10.
n14.17	$\mathbf{\nabla}^2$ ; $\Delta$	Laplace 算子	$\mathbf{\nabla}^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$ .

特殊函数

本节中的 $z$ ， $w$ 是复数， $k$ ， $n$ 是自然数，且 $k\leq n$ 。

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n15.1	$\gamma$	Euler–Mascheroni 常数	$\displaystyle \gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right)= 0.577~215~6 \dots$ .
n15.2	$\Gamma(z)$	gamma 函数	$\displaystyle\Gamma(z)=\int\limits_0^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t\quad (\operatorname{Re}z>0)$ ; $\Gamma(n+1)=n!$ .
n15.3	$\zeta(z)$	Riemann zeta 函数	$\displaystyle\zeta(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^z}\quad (\operatorname{Re}z>1)$ .
n15.4	$\operatorname{B}(z, w)$	beta 函数	$\displaystyle\operatorname{B}(z, w)=\int\limits_0^1 t^{z-1}(1-t)^{w-1}\mathrm{d}t\quad (\operatorname{Re} z>0$ ， $\operatorname{Re} w>0)$ ; $\operatorname{B}(z, w)=\dfrac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)}$ ; $\dfrac{1}{(n+1)\operatorname{B}(k+1, n-k+1)}=\dbinom{n}{k}$ .

$\footnotesize 1.$ $\dfrac{\partial(f_1, \dots, f_m)}{\partial(x_1, \dots, x_n)}=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}$ ; 矩阵的定义参见 n12.1 ↩︎
$\footnotesize 2.$ $\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$ ↩︎
$\footnotesize 3.$ $\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots& &\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ ↩︎