如何优雅地证明二元调和平均数不大于算术平均数

证明命题

$\forall a,b\in \mathbb R^+，\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{a+b}{2}$

证明

构造函数

$f(x)=\frac{1}{x}\;\;\;(x\in \mathbb R^+)$

在其上图像任取两点 $A(a,\frac{1}{a})$，$B(b, \frac{1}{b})$，不妨设 $a\le b$，如图

连接 $A,B$ 并取中点 $P(\frac{a+b}{2}, \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2})$

过 $P$ 作$x$轴平行线交 $f(x)$ 图像于点 $Q(\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}},\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2})$

观察可知，$f(x)$ 为凸函数

严谨来说，求 $f(x)$ 的二阶导数

$\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\frac{2}{x^3}>0$

因此显然 $x_Q \le x_P$（其中当 $A,B$ 重合时即 $a=b$，$P, Q$ 重合，$x_Q=x_P$）

即

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{a+b}{2}，其中\ a,b\in \mathbb R^+$

$\text{Q.E.D}$