LinMath丨P 例题

Q 例题题解
S 数学符号表

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>> P1 反比例与四边形面积

*Level 1*反比例函数
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$~~~~~~~~如图，$$在平面直角坐标系\ xDy\ 的第一象限内，$$有\ l:y=\frac{\normalsize k}{\normalsize x}，$$P\ 是\ l\ 上一点。$$有矩形\ ABCD，$$其中，$$点\ A\ 在\ y\ 轴上，$$点\ C\ 在\ x\ 轴上，$$点\ D\ 是\ x、y\ 轴交点，$$点\ P\ 是其对角线交点。$$l\ 分别交\ AB\ 于\ M，$$交\ CB\ 于\ N。$$已知\ S_{四边形BMDN}=12，$$求\ k\ 的值。$

>> P2 {1,11,111,...}

*Level 3*同余*欧拉定理
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$\begin{aligned} & 有一数列\ a = \{a_1,\ a_2,\ ... \}，其中\ a_1 = k\ (k\in\mathbb N^*\ 且\ 1\le k\le9)，\\ & \,\forall\ i\ge 2，a_i = a_{i - 1} \cdot 10 + k. \\ & \;\;\;\; {\footnotesize \color{#777777} \text{eg.}\ 当\ k = 1\ 时，a = \{1, 11, ...\}}. \\ & \rule{0pt}{16pt} 求：\forall x \in \mathbb N^*，是否\ \exists m \in \mathbb N^*: \ x \mid a_m；\\ & \;\;\;\;\;\;\;如果有，请表示出一个可行的\ m\ 的值. \end{aligned}$

>> P3 圆 · 圆柱 · 圆锥 · 球

*Level 2*极限*积分
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$\begin{aligned} \hspace{2em} & \hspace{-2em} 已知且仅知\ C_圆 = 2\pi r，求：\hspace{-4em} & \\ & \hspace{-2em} (以下式子中均保留\,\pi) \\ \rule{}{1.4em} & S_圆 \small{^{①}} & \color{gray}(用含\,r\,的式子表示) \\ & S_{圆柱} & \color{gray}(用含\,r,h\,的式子表示) \\ & V_{圆柱} & \color{gray}(用含\,r,h\,的式子表示) \\ & S_{圆锥} & \color{gray}(用含\,r,h\,的式子表示) \\ & V_{圆锥} & \color{gray}(用含\,r,h\,的式子表示) \\ & S_{球} & \color{gray}(用含\,r\,的式子表示) \\ & V_{球} & \color{gray}(用含\,r\,的式子表示) \\ & \rule{}{1.3em} \hspace{-1.5em} \color{gray} \rule{19.5em}{0.02em} \hspace{-18em} \\ & \rule{}{2em} \hspace{-2em} \footnotesize ①.\;提示：\lim_{n\to\infty} \sum^n_{i = 1} \frac{\sqrt{n^2-i^2}}{\rule{}{0.9em}n^2}=\frac{\pi}{4}\hspace{-10em} \end{aligned}$

>> P4 染色的顶点

*Level 2*逻辑门
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$有一凸\,n(n\nmid2)\,边形，$$其每个顶点都被染成了{\color{red}红色}或{\color{blue}蓝色}.$
$现从某一顶点开始，$$沿顺时针方向依次选中每个点，$$若该点与上一点同色，$$则重新染色为{\color{blue}蓝色}，$$否则染为{\color{red}红色}.$$直到又将起始顶点染色\,(共染了\,n+1\,次色)\,后停止，$$这称为一次“顺染色”，$$沿逆时针方向进行相同的操作称为一次“逆染色”.$
$\rule{}{1.6em}求证：$$对于任何的初始染色，$$都有办法从某一顶点开始进行一次“顺染色”使得这个顶点被染为{\color{blue}蓝色}，$$同时从这一点开始进行一次“逆染色”也能使这个顶点被染为{\color{blue}蓝色}$

>> P5 bˣ+cˣ=aˣ

*Level 2*幂*单调性
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$已知\, a>b\ge c > 0\,(a,b,c\, 为常数).$
$求证：关于\,x\,的方程$

$b^x+c^x=a^x$

$有唯一实根.$

>> P6 3的幂

*Level 2+*进制
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$一列由小到大排列的正整数：$

$1,3,4,9,10,12,13,\cdots$

$包含了所有为若干个不同的\,3\,的非负整数幂的和的数，$$求这列数中的第\,n\,个数.$

>> P7 平分面积

*Level 2*三角形面积
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$如图，阴影部分是由线段AB,AC和弧BC\hspace{-1.52em} \overset{\Large\frown}{\rule{}{0.4em}}围成的.$
$求：用尺规做直线\,l\,平分阴影部分面积.$

>> P8 x/y ∈ S

*Level 2-*集合论
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$有一数集\,S\,，$$满足以下性质$

$\forall x\in S,x \ne 0:\frac{1}{x}\in S \\ \forall x,y \in S:(x-y)\in S$

$\displaystyle 求证：\forall \frac{a}{b}(a+b \ne 0) \in S:\frac{a-b}{a+b}\in S$

>> P9 d=ab/h

*Level 1*圆*相似
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$\begin{aligned} &三角形中，过边\,a,b\,夹角顶点的高为\,h，外接圆半径为\,d. \\ &求证：d = \frac{ab}{h} \end{aligned}$

>> P10 立方和

*Level 2*递推
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$求证：1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2$