David 的小窝

LinMath丨Q 例题题解

2024-02-20 · 14 min read
Maths

LinMath丨Q 例题题解

P 例题
S 数学符号表

>> P1 反比例与四边形面积

题目

题目

        如图，~~~~~~~~如图，在平面直角坐标系 xDy 的第一象限内，在平面直角坐标系\ xDy\ 的第一象限内，有 l:y=kx，有\ l:y=\frac{\normalsize k}{\normalsize x}，P 是 l 上一点。P\ 是\ l\ 上一点。有矩形 ABCD，有矩形\ ABCD，其中，其中，点 A 在 y 轴上，点\ A\ 在\ y\ 轴上，点 C 在 x 轴上，点\ C\ 在\ x\ 轴上，点 D 是 x、y 轴交点，点\ D\ 是\ x、y\ 轴交点，点 P 是其对角线交点。点\ P\ 是其对角线交点。l 分别交 AB 于 M，l\ 分别交\ AB\ 于\ M，交 CB 于 N。交\ CB\ 于\ N。已知 S四边形BMDN=12，已知\ S_{四边形BMDN}=12，求 k 的值。求\ k\ 的值。

分析

        ~~~~~~~~本题看似没有突破口，实则暗藏玄机。

        ~~~~~~~~观察题目，有很多点的坐标不知道：A,B,C,P,M,NA,B,C,P,M,N，但在其中，A,B,C,PA,B,C,P 四点很容易看出关联，而点 PP 又在 ll 上，所以我们不妨设 P(a,b)P(a,b)，那么就可以表示 A,B,CA,B,C 三点的坐标，那么也就能确定点 MM 的纵坐标和点 NN 的横坐标，那么也就可以将点 M,NM,N 的坐标表示出来。

        ~~~~~~~~然后就可以表示 S四边形BMDNS_{四边形BMDN} 的面积，就可以得到含 a,ba,b 的式子的值，进而求出 abab 的值（有人可能对此表示怀疑，但看完计算过程你就知道为啥了）。又因为点 PP 在 ll 上，那么 b=kab = \frac{\normalsize k}{\normalsize a}，即 k=abk = ab，那么我们就求出了 kk 的值。

解题

设 P(a,b)易证，A(0,2b),B(2a,2a),C(2a,0),            k=ab 即 l:y=abx令 y=2b，则 abx=2b                 解得 x=a2∴ M(a2,2b)当 x=2a时，y=ab2a=b2∴ N(2a,b2)∴ BM=AB−AM=2a−a2=32a      BN=CB−CN=2b−b2=32b∴     S四边形BMDN    =S△BMD+S△BND    =BM×AD2+BN×CD2    =32a×2b2+32b×2a2    =32ab+32ab    =3ab∵ S四边形BMDN=12∴ 3ab=12        ab=4∴ k=ab=4\begin{aligned} &设\ P(a,b) \\ &易证，A(0,2b),B(2a,2a),C(2a,0), \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k = ab\ 即\ l:y=\frac{ab}{x}\\ &令\ y=2b，则\ \frac{ab}{x}=2b \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,解得\ x=\frac{a}{2} \\ &\therefore\ M(\frac{a}{2},2b) \\ &当\ x=2a时，y=\frac{ab}{2a}=\frac{b}{2} \\ &\therefore\ N(2a,\frac{b}{2}) \\ &\therefore\ BM = AB - AM = 2a - \frac{a}{2} = \frac{3}{2}a\\ &\ \ \ \ \ \ BN = CB - CN = 2b - \frac{b}{2} = \frac{3}{2}b\\ &\therefore\ \ \ \; S_{四边形BMDN}\\ &\ \ \ \,=S_{\triangle BMD}+S_{\triangle BND} \\ &\ \ \ \,=\frac{BM \times AD}{2} + \frac{BN \times CD}{2} \\ &\ \ \ \,=\frac{\frac{3}{2}a \times 2b}{2} + \frac{\frac{3}{2}b \times 2a}{2} \\ &\ \ \ \,=\frac{3}{2}ab + \frac{3}{2}ab \\ &\ \ \ \,=3ab \\ &\because\ S_{四边形BMDN} = 12 \\ &\therefore\ 3ab = 12 \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ ab = 4 \\ &\therefore\ k = ab = 4 \end{aligned}

>> P5 bˣ+cˣ=aˣ

题目

已知 a>b≥c>0 (a,b,c 为常数).已知\, a>b\ge c > 0\,(a,b,c\, 为常数).
求证：关于 x 的方程求证：关于\,x\,的方程

bx+cx=axb^x+c^x=a^x

有唯一实根.有唯一实根.

解题

证明：特别的，在此证明中，只考虑实数.∵a>0∴ax>0，bx+cx=ax∴bx+cxax=axax  ⟺  bx+cx=ax∴bxax+cxax=axax∴(ba)x+(ca)x=1∴(ba)x+(ca)x−1=0令 fb(x)=(ba)x， ⁣ ⁣fc(x)=(ca)xf(x)=fb(x)+fc(x)−1=(ba)x+(ca)x−1显然，fb(x),fc(x) 是连续的，f(x) 也是连续的∵a>b>0∴0<ba<1∴fb(x) 单调递减同理，fc(x) 单调递减∴f(x) 单调递减又∵f(0)=(ba)0+(ca)0−1=1lim⁡x→∞f(x)=−1−1<0<1∴∃! x:f(x)=0∴原方程有唯一解\begin{aligned} \hspace{1em}&\hspace{-1em}证明： \\ &\hspace{0.1em}\footnotesize\color{gray}特别的，在此证明中，只考虑实数. \\ &\because a>0 \\ &\therefore a^x>0，b^x+c^x=a^x \\ &\therefore \frac{b^x + c^x}{a^x}=\frac{a^x}{a^x} \iff b^x+c^x=a^x\\ &\therefore \frac{b^x}{a^x}+\frac{c^x}{a^x}=\frac{a^x}{a^x} \\ &\therefore (\frac{b}{a})^x+(\frac{c}{a})^x=1 \\ &\therefore (\frac{b}{a})^x+(\frac{c}{a})^x-1=0 \\ &\hspace{0.1em}令\,f_b(x)=(\frac{b}{a})^x，\!\!f_c(x)=(\frac{c}{a})^x \\ &\hspace{1.2em}f(x)=f_b(x)+f_c(x)-1=(\frac{b}{a})^x+(\frac{c}{a})^x-1 \\ &\hspace{0.1em}显然，f_b(x),f_c(x)\,是连续的，f(x)\,也是连续的 \\ &\because a>b>0 \\ &\therefore 0<\frac{b}{a}<1 \\ &\therefore f_b(x)\,单调递减 \\ &\hspace{0.1em}同理，f_c(x)\,单调递减 \\ &\therefore f(x)\,单调递减 \\ &又\because f(0)=(\frac{b}{a})^0+(\frac{c}{a})^0-1=1 \\ &\hspace{2.1em}\lim_{x\to \infin}f(x)=-1 \\ &\hspace{2.1em}-1<0<1 \\ &\therefore\exist!\ x:f(x)=0 \\ &\therefore 原方程有唯一解 \end{aligned}

>> P8 x/y ∈ S

题目

有一数集 S ，有一数集\,S\,，满足以下性质满足以下性质

∀x∈S,x≠0:1x∈S∀x,y∈S:(x−y)∈S\forall x\in S,x \ne 0:\frac{1}{x}\in S \\ \forall x,y \in S:(x-y)\in S

求证：∀ab(a+b≠0)∈S:a−ba+b∈S\displaystyle 求证：\forall \frac{a}{b}(a+b \ne 0) \in S:\frac{a-b}{a+b}\in S

前置证明

给两条性质编号：∀x∈S,x≠0:1x∈S①∀x,y∈S:(x−y)∈S②∵1∈S∴由②得，当 x=y=1 时，x−y=0∈S∴由②得，当 x=0,y∈S 时，x−y=−y∈S即  ∀x∈S:−x∈S③\begin{aligned} &给两条性质编号：\\ &\hspace{2em}\forall x\in S,x \ne 0:\frac{1}{x}\in S\hspace{1.2em}① \\ &\hspace{2em}\forall x,y \in S:(x-y)\in S \hspace{0.8em}② \\ &\because 1\in S \\ &\therefore 由②得，当\,x=y=1\,时，x-y=0\in S \\ &\therefore 由②得，当\,x=0,y\in S\,时，x-y=-y\in S \\ &\hspace{1.25em}即\;\forall x\in S:-x\in S \hspace{1em}③& \\ \end{aligned}

解法一 逆推+分离常数

充分利用性质②，反复进行分离常数（俗称“砍头”）

x−yx+y∈S⇐x+y−2yx+y⇐1−2yx+y⇐2yx+y∈S⇐yx+y∈S⇐x+yy∈S⇐xy+1∈S⇐xy∈S\begin{aligned} &\frac{x-y}{x+y}\in S\Leftarrow \frac{x+y-2y}{x+y}\Leftarrow 1-\frac{2y}{x+y} \\ &\Leftarrow \frac{2y}{x+y}\in S\Leftarrow \frac{y}{x+y}\in S\Leftarrow \frac{x+y}{y}\in S \\ &\Leftarrow \frac{x}{y}+1\in S\Leftarrow \frac{x}{y}\in S \end{aligned}

然后将上述过程正向书写即可

由③得，当 x=1 时，−1∈S由②得，当 x=ab,y=−1 时，ab+1=a+bb∈S由①得，ba+b∈S由③得，−ba+b∈S由②得，当 x=ba+b,y=−ba+b 时，ba+b−(−ba+b)=2ba+b∈S由②得，当 x=1,b=2ba+b 时，1−2ba+b=a+b−2ba+b=a−ba+b∈S\begin{aligned} &由③得，当\,x=1\,时，-1\in S \\ &由②得，当\,x=\frac{a}{b},y=-1\,时，\frac{a}{b}+1=\frac{a+b}{b}\in S \\ &由①得，\frac{b}{a+b}\in S \\ &由③得，-\frac{b}{a+b}\in S \\ &由②得，当\,x=\frac{b}{a+b},y=-\frac{b}{a+b}\,时， \\ &\hspace{4em}\frac{b}{a+b}-(-\frac{b}{a+b})=\frac{2b}{a+b}\in S \\ &由②得，当\,x=1,b=\frac{2b}{a+b}\,时，\\ &\hspace{4em}1-\frac{2b}{a+b}=\frac{a+b-2b}{a+b}=\frac{a-b}{a+b}\in S \\ \end{aligned}

解法二 换元（本质与解法一相同）

设 k=ab，则 k∈S, a=kb则 a−ba+b=kb−bkb+b=b(k−1)b(k+1)=k−1k+1由③得，当 x=1 时，−1∈S由②得，当 x=k,y=−1 时，k+1∈S由①得，1k+1∈S由③得，−1k+1∈S由②得，当 x=1k+1,y=−1k+1 时，1k+1−(−1k+1)=2k+1∈S由②得，当 x=1,b=2k+1 时，1−2k+1=k+1−2k+1=k−1k+1∈S即 a−ba+b∈S\begin{aligned} &设\,k=\frac{a}{b}，则\,k\in S,\,a=kb \\ &则\,\frac{a-b}{a+b}=\frac{kb-b}{kb+b}=\frac{b(k-1)}{b(k+1)}=\frac{k-1}{k+1} \\ &由③得，当\,x=1\,时，-1\in S \\ &由②得，当\,x=k,y=-1\,时，k+1\in S \\ &由①得，\frac{1}{k+1}\in S \\ &由③得，-\frac{1}{k+1}\in S \\ &由②得，当\,x=\frac{1}{k+1},y=-\frac{1}{k+1}\,时， \\ &\hspace{4em}\frac{1}{k+1}-(-\frac{1}{k+1})=\frac{2}{k+1}\in S \\ &由②得，当\,x=1,b=\frac{2}{k+1}\,时，\\ &\hspace{4em}1-\frac{2}{k+1}=\frac{k+1-2}{k+1}=\frac{k-1}{k+1}\in S \\ &\hspace{4em}即\,\frac{a-b}{a+b}\in S \\ \end{aligned}